La speranza matematica di una variabile casuale X è il numero che esprime il valore medio del fenomeno rappresentato da quella variabile.
La speranza matematica, detta anche valore atteso, è uguale alla somma delle probabilità di un evento casuale, moltiplicata per il valore dell’evento casuale. O, in altre parole, il valore medio di un set di dati. Tenendo presente, tuttavia, che il termine speranza matematica è coniato dalla teoria delle probabilità. Mentre in matematica, la media matematica è il valore medio di un evento che si è verificato. In distribuzioni discrete con la stessa probabilità ad ogni evento, la media aritmetica è la stessa della speranza matematica.
Esempio di speranza matematica
Vediamo un semplice esempio per capirlo. Immaginiamo una moneta. Due teste, testa e croce: quale sarebbe la speranza matematica (valore atteso) che le teste vengano fuori? La speranza matematica sarebbe stata calcolata come la probabilità che, lanciando la moneta un numero molto, molto grande di volte, sarebbero uscite delle teste.
Dato che la moneta può cadere solo in una di queste due posizioni ed entrambe hanno la stessa probabilità di uscire, diremo che la speranza matematica che ne esca costosa è una su due, o quello che è lo stesso, il 50% delle volte.
Faremo un test e lanceremo una moneta per 10 volte. Supponiamo che la moneta sia perfetta:
- Tiratura di stampa 1: C
- Premere 2: X
- Tiratura 3: X
- Tiratura 4: C
- Edizione 5: X
- Tiratura 6: C
- Tiratura di stampa 7: C
- Tiratura 8: C
- Tiratura 9: X
- Tiratura di stampa 10: X
Quante volte è stato costoso (contiamo le C)? 5 volte Quante volte è venuto fuori croce (contiamo le X)? 5 volte. La probabilità che le teste escano sarà di 5/10=0,5 o in percentuale del 50%.
Una volta che l’evento si è verificato, possiamo calcolare la media matematica del numero di volte che ogni evento si è verificato. Il lato delle teste è saltato fuori una volta su due, cioè il 50% del tempo. La media coincide con la speranza matematica.
Calcolo della speranza matematica
La speranza matematica è calcolata utilizzando la probabilità di ogni evento. La formula che formalizza questo calcolo è la seguente
Dove x è il valore dell’evento, P è la probabilità che si verifichi, i è il periodo in cui si verifica l’evento e N è il numero totale di periodi o osservazioni.
La probabilità di un evento non è sempre la stessa, come nel caso delle monete. Ci sono innumerevoli casi in cui un evento ha più probabilità di accadere di un altro. Per questo motivo nella formula utilizziamo la P. Inoltre, nel calcolo dei numeri matematici dobbiamo moltiplicare per il valore dell’evento. Qui di seguito un esempio.
A cosa serve la speranza matematica?
La speranza matematica è utilizzata in tutte quelle discipline in cui la presenza di eventi probabilistici è intrinseca. Discipline come la statistica teorica, la fisica quantistica, l’econometria, la biologia o i mercati finanziari. Un gran numero di processi ed eventi che si verificano nel mondo sono imprecisi. Un esempio chiaro e facile da capire è il mercato azionario.
In borsa tutto viene calcolato in base ai valori attesi. Perché i valori attesi? Perché è quello che ci aspettiamo che succeda, ma non possiamo confermarlo. Tutto si basa sulle probabilità, non sulle certezze. Se il valore atteso o la speranza matematica del rendimento di un bene è del 10% all’anno, significa che, secondo le informazioni che abbiamo del passato, il rendimento sarà molto probabilmente del 10%. Se prendiamo in considerazione, naturalmente, solo la speranza matematica come metodo per prendere le nostre decisioni di investimento.
Nelle teorie dei mercati finanziari, molti usano questo concetto di speranza matematica. Tra queste teorie c’è quella sviluppata da Markowitz sui portafogli efficienti. In numeri, semplificando molto, supponiamo che i rendimenti di un’attività finanziaria siano i seguenti:
Anno 1 12%
Anno 2 6
Anno 3 15
Anno 4 12%
Il valore atteso sarebbe la somma dei rendimenti moltiplicata per la loro probabilità di accadimento. La probabilità che ogni ritorno “avvenga” è di 0,25. Abbiamo quattro osservazioni, quattro anni. Ogni anno hanno la stessa probabilità di ripetersi.
Speranza = ( 12 x 0,25 ) + ( 6 x 0,25 ) + ( 15 x 0,25 ) + ( 12 x 0,25 ) + ( 12 x 0,25 ) = 3 + 1,5 + 3,75 + 3 = 11,25%
Tenendo conto di queste informazioni, diremo che la speranza di un ritorno del bene è dell’11,25%.