La legge dei grandi numeri è un teorema fondamentale della teoria delle probabilità che indica che se ripetiamo più volte lo stesso esperimento (tendente all’infinito), la frequenza di accadimento di un certo evento tende ad essere una costante
La Legge dei Grandi Numeri stabilisce che se lo stesso esperimento viene effettuato ripetutamente (ad esempio, lancio di una moneta, lancio di una ruota della roulette, ecc.), la frequenza con cui un certo evento si ripeterà (che esce la testa o il timbro, che esce il numero 3 in nero, ecc. Questa costante sarà a sua volta la probabilità che questo evento si verifichi.
Origine della legge dei grandi numeri
La legge dei grandi numeri è stata citata per la prima volta dal matematico Gerolamo Cardamo, anche se senza alcuna prova rigorosa. Più tardi, Jacob Bernoulli riuscì a fare una dimostrazione completa nella sua opera “Ars Conjectandi” nell’anno 1713. Nel 1830 il matematico Siméon Denis Poisson descrisse in dettaglio la Legge dei Grandi Numeri che arrivò a perfezionare la teoria. Anche altri autori avrebbero contribuito in seguito.
Esempio di legge dei grandi numeri
Supponiamo il seguente esperimento: lanciare un dado comune. Consideriamo ora l’evento che ci viene in mente con il numero 1. Come sappiamo, la probabilità di ottenere il numero 1 è di 1/6 (il dado ha 6 lati, uno dei quali è uno).
Cosa ci dice la Legge dei Grandi Numeri? Ci dice che man mano che aumentiamo il numero di ripetizioni del nostro esperimento (facciamo più tiri di dadi), la frequenza con cui l’evento si ripeterà (otteniamo 1) si avvicinerà sempre più ad una costante, che avrà un valore pari alla sua probabilità (1/6 o 16,66%).
Forse nei primi 10 o 20 lanci, la frequenza di 1 non sarà del 16% ma di un altro numero del 5% o del 30%. Ma siccome facciamo sempre più lanci (diciamo 10.000), la frequenza di 1 sarà molto vicina al 16,66%.
Nel grafico seguente vediamo un esempio di un vero e proprio esperimento in cui un dado viene lanciato ripetutamente. Qui possiamo vedere come cambia la frequenza relativa di rotazione di un certo numero.
Come indica la Legge dei Grandi Numeri, nei primi lanci la frequenza è instabile, ma man mano che si aumenta il numero dei lanci, la frequenza tende a stabilizzarsi ad un certo numero che è la probabilità che l’evento si verifichi (in questo caso numeri da 1 a 6 poiché è il lancio di un dado).
Interpretazione errata della legge dei grandi numeri
Molti interpretano erroneamente la legge dei grandi numeri nella convinzione che un evento tenderà a compensarne un altro. Per esempio, essi ritengono che, poiché la probabilità che il numero 1 venga fuori in un lancio di dadi dovrebbe essere vicina a 1/6, quando il numero 1 non viene fuori nei primi 2 o 5 lanci, è molto probabile che venga fuori nel lancio successivo. Questo non è vero, la Legge dei Grandi Numeri si applica solo a molte ripetizioni, quindi possiamo passare tutto il giorno a far rotolare un dado e non raggiungere la frequenza di 1/6.
Il tiro di dado è un evento indipendente e quindi, quando appare un certo numero, questo risultato non influisce sul tiro successivo. Solo dopo migliaia di ripetizioni potremo verificare che la Legge dei Grandi Numeri esiste e che la frequenza relativa di un numero (nel nostro esempio 1) sarà di 1/6.
Un’errata interpretazione della teoria può portare le persone (soprattutto i giocatori d’azzardo) a perdere denaro e tempo.