Una distribuzione binomiale è una distribuzione di probabilità discreta che descrive il numero di successi nella conduzione di n esperimenti indipendentemente l’uno dall’altro su una variabile casuale
C’è una grande diversità di esperimenti o eventi che possono essere caratterizzati sotto questa distribuzione di probabilità. Immaginiamo il lancio di una moneta in cui definiamo l’evento “per ottenere teste” come un successo. Se capovolgiamo la moneta cinque volte e contiamo i successi (teste) che otteniamo, la nostra distribuzione di probabilità si adatta ad una distribuzione binomiale.
Pertanto, la distribuzione binomiale è intesa come una serie di test o prove in cui possiamo avere solo 2 risultati (successo o fallimento), essendo il successo la nostra variabile casuale.
Proprietà della distribuzione binomiale
Affinché una variabile casuale possa essere considerata come una distribuzione binomiale, deve soddisfare le seguenti proprietà
- In ogni prova, esperimento o test sono possibili solo due risultati (successo o fallimento).
- La probabilità di successo deve essere costante. È rappresentata dalla lettera p. La probabilità di essere teste quando una moneta viene lanciata è di 0,5 ed è costante, poiché la moneta non cambia in ogni esperimento e le probabilità di essere teste sono costanti.
- Occorre anche stabilire la probabilità di guasto. È rappresentato dalla lettera q = 1-p. È importante notare che attraverso questa equazione, conoscendo p o conoscendo q, possiamo ottenere quella mancante.
- Il risultato ottenuto in ogni esperimento è indipendente dal precedente. Pertanto, ciò che accade in ogni esperimento non influisce su quelli successivi.
- Gli eventi si escludono a vicenda, cioè le due cose non possono accadere contemporaneamente. Non si può essere un uomo e una donna allo stesso tempo, o quando si lancia una moneta esce testa e croce allo stesso tempo.
- Gli eventi sono collettivamente esaustivi, cioè almeno uno dei due deve verificarsi. Se non sei un uomo, sei una donna, e se lanci una moneta, se non lanci la testa, devi lanciare la coda.
- La variabile casuale che segue una distribuzione binomiale è solitamente rappresentata come X~(n,p). n rappresenta il numero di prove o esperimenti e p la probabilità di successo.
Formula della distribuzione binomiale
La formula per calcolare la distribuzione normale è:
Dove:
n = numero di prove/esperimenti
x = numero di successi
p = probabilità di successo
q = probabilità di guasto (1-p)
È importante notare che l’espressione tra parentesi quadre non è un’espressione a matrice, ma il risultato di un combinatorio non ripetitivo. Questo si ottiene con la seguente formula:
Il punto esclamativo nell’espressione di cui sopra rappresenta il simbolo fattoriale.
Esempio distribuzione binomiale
Immaginiamo che l’80% delle persone nel mondo abbia visto la finale dell’ultima Coppa del Mondo. Dopo l’evento, 4 amici si riuniscono per parlare. Qual è la probabilità che 3 di loro abbiano visto?
Definiamo le variabili dell’esperimento:
n = 4 (è il totale del campione che abbiamo)
x = numero di successi, che in questo caso è pari a 3, dato che stiamo cercando la probabilità che 3 dei 4 amici l’abbiano visto.
p = probabilità di successo (0,8)
q = probabilità di guasto (0,2). Questo risultato si ottiene sottraendo 1-p.
Dopo aver definito tutte le nostre variabili, ci limitiamo a sostituirle nella formula.
Il numeratore del fattoriale si otterrebbe moltiplicando 4*3*2*2*1 = 24 e nel denominatore
avremmo
3*2*1*1 = 6.
Il primo sarebbe 0,8^3=0,512 e il secondo 0,2 (poiché 4-3 = 1 e qualsiasi numero superiore a 1 è lo stesso).
Pertanto il nostro risultato finale sarebbe: 4*0,512*0,2 = 0,4096. Se moltiplichiamo per 100 abbiamo il 40,96% di probabilità che 3 dei 4 amici abbiano visto la finale di Coppa del Mondo.